关于胡波老师的花股结理论中第二个结论的证明

愿今夜永不结束

今天翻到胡波老师的花股结理论贴子，发现了一个很有意思的结论，是关于花数股数与用线根数的关系的。
胡波老师首先用数归证明了任意花股结的存在，而第二个结论是关于m花n股结需要多少根绳恰好编完 ，结论是需要m和n的最大公约数根绳，也就是d＝(m ，n)根绳子。
这是胡波老师的花股结理论中的一个命题，关于此结论的证明过程，老师没有放出，在此分享自己的一种证明方法。
概述一下证明思路：
首先可以确定的是，任选一点作为起点，以花股结的走线规律经过T次点后回到起点，循环下去，就是一个闭环，T为最小正周期。同样地，一整朵花需要经过T1次点后回到起点，T1为花的最小正周期。一整股（圈）需要经过T2次点后回到起点，T2为股的最小正周期。
显然，一个闭环内都是整花整股，那么，一个闭环的最小正周期T，既是花的最小正周期T1的整数倍，也是股的最小正周期T2的整数倍。
由此得出：T＝［T1，T2］（注，在数论中，通常记(a，b)为a和b的最大公约数;记［a，b］为a和b的最小公倍数）。
一绳所编图形经过［T1，T2］次点，而算上外耳的n个交叉点后，图形共有mn个交叉点，而每个交叉点都经过2次，故完整图需要经过2mn次交叉点。
最后把2mn除以［T1，T2］，得到的商为需要闭环周期的次数，即编结所需绳的根数d。
不难发现，对于m花n股结，T1＝2m，T2＝2n，带入上述运算，得d＝2mn/［2m，2n］＝2mn/2×［m，n］＝mn/［m，n］＝（m，n）。
具体证明如下：

愿今夜永不结束

可能会有人有疑问，1整个花向外经过m次点，向内回来时经过m次点，共2m次，即T1，这个没有问题，但是1整个股，也就是1圈，一共是n个点，那T2为什么是2n而不是n呢？
首先看1花所经过的交叉点，每个交叉点都有共同的一条交叉线，也就是1花由内而外再回来的路线，而另一条交叉线则与此花无关，故每个交叉点经过1次，一个来回便是2m。
再看1整股的周期T2，首先由于闭环要回到A11，那么便考察最内1股（圈），与花不同的是，这n个交叉点的两条交叉线均在这1股（圈）上，简单来说，就是每个交叉点的的第二条交叉线为顺时针相邻的下一个交叉点的第一条交叉线，如此一圈，每个交叉点经过2次，那自然是经过2n次点而非n次，即T2为2n而非n。

劃兿

用裴蜀定理去理解会更快一些

愿今夜永不结束

劃藝 发表于 2023-4-25 10:36
用裴蜀定理去理解会更快一些

请问是指最后的运算所用的定理“（a，b）×［a，b］＝ab”用Bezout定理理解吗？这个定理的证明的确用到了Bezout定理。
简单叙述一下该定理的证明过程：
证明：首先引理1：设b整除ac，若b，c互质，则b整除a。
设m为任意a，b的公倍数，那么一定存在整数k1，k2，使得ak1＝bk2＝m，等式“ak1＝bk2”两边同时除以（a，b）得：
［a/（a，b）］k1＝［b/（a，b）］k2
注意到：（a/（a，b），b/（a，b））＝1，则由引理1，有b/（a，b）整除k1，那么，存在整数t，使得k1＝［b/（a，b）］×t。
将上式带入ak1＝bk2得：
m＝［ab/（a，b）］×t
以上为a，b公倍数的形式，整数t可任取。
当t＝1时，所得为最小公倍数［m，n］＝ab/（a，b），证毕。
而上述引理1的证明用到了Bezout定理，下证：
由（b，c）＝1，必存在整数x，y，使得bx＋cy＝1成立，（ps：这里就是一个Bezout等式）那么有abx＋acy＝a成立，又b整除ac，故b整除abx＋acy，即b整除a。证毕
但是直接用Bezout定理证明的方法还没有想出来，这个定理大多用在了证明两数互素的相关问题上，而该方程mx＋ny＝k×（m，n），二元线性方程的几何意义也就是直线上的整点问题而已，所以在Bezout等式中找不到可以代表所需绳子数量的参数或变量，得构造出来才行，我首先想写2个方程mx1＋ny1＝d；m'x2+ny2＝d，其中m'为一根绳子编完的花数，而股数n显然是不变的，那么所需绳数就是m/m'，现只需证明m/m'＝（m，n）＝d 即可。思路是这样的，但是代数恒等变形的能力有限，并且关于两个方程必存在的整数解的特征搞不出来，所以卡了...

蟲蟲不飞

给你点赞，但是我脑子已经乱成一团浆糊了！完全看不懂！

愿今夜永不结束

蟲蟲不飞 发表于 2023-4-25 19:33
给你点赞，但是我脑子已经乱成一团浆糊了！完全看不懂！

谢谢，很多绳结的理论研究的数都仅涉及非负整数的变化规律，所以可以适当的学习一下初等数论和组合学，这样就可以更为深刻地理解理论并看懂证明或自己给出证明，毕竟自己会证的结论用起来心里才踏实嘛
emmm不过实际操作就是另一回事了，那个是练出来的真功夫，不是在纸上哗啦哗啦就能学会的。
总之，学数学很重要。

愿今夜永不结束

劃藝 发表于 2023-4-25 10:36
用裴蜀定理去理解会更快一些

总的来说，这个问题本质上还是在一圈一圈的走线上寻找规律，也就是最小正周期，感觉跟Bezout定理关系不大，Bezout定理更多地是用它的一个重要推论：“a，b互质的充要条件为存在整数x，y，使得ax＋by＝1”证明一些互质，整除与否之类的结论或是用它构造全体整数...之类的问题，与周期相关不大。
但是也不是完全没有关系，之前运算所用定理，引理以及一些数论中最基本的性质结论的证明，还是基于Bezout定理上的。
所以目前为止还是只能想到1种证明方法（就是最开始的方法）。
注：由于Bezout定理汉语音译叫法不一（裴蜀定理，贝祖定理等），所以用的原名。

劃兿

愿今夜永不结束 发表于 2023-4-25 21:01
总的来说，这个问题本质上还是在一圈一圈的走线上寻找规律，也就是最小正周期，感觉跟Bezout定理关系不大 ...

1.首先，原名是 Bézout 。
2.问题可简化多边形的顶点路径规划问题，假设多边形顶点数为A（花），从起点走至下一点经过B个顶点（股），根据裴蜀定理，可知存在整数解x,y使得Ax+By=（A,B）。
此处|x|表示距离起点多少个顶点，|y|表示路径执行了多少次，（A,B）表示需要几条路径完成。
以7花3股为例，7+3×(-2)=1，则2次走线后距离起点1个顶点，所需路径1条。
以10花4股为例，10+4×(-2)=2，则2次走线后距离起点2个顶点，所需路径2条。
我个人的理解吧，其实不用这样强推，毕竟这个花和股的概念就是从数论的基础上来的，不太具备什么学术意义，只要掌握规律就好了

愿今夜永不结束

emmm...这位数学家的名字的确是Bézout，e上方的斜杠只是给这个字母标注的音调，但这是法语的写法，因输入法的差异之类的因素，书面形式都简化为英语形式 Bezout，所以这个定理写作书面形式Bezout定理是没有问题的，而几乎所有数论相关书籍上也都写作Bezout定理。
关于证明部分，首先将给定了花数股数，那么必存在的解x，y已经确定了，在这之后无法再去定义|x|和|y|关于A花B股结中的几何意义，退一步来说，就几何意义来说，坐标（x，y）点也就是直线 Ax＋By＝d上的一个整点，而取绝对值后就只是对称到第一象限的一个整点，故证明中赋予|x|和|y|的意义不一定成立，这个需要证明的。
而最重要的是将经过的路径数用（A，B）表示，这个是最开始要证明的结论，而这里又用到了这个结论，用结论证明结论，逻辑上不可以。
之后举例验证属不完全归纳，非演绎推理，所得结果不一定真。数学归纳法验证一次起点是容易的，最重要的是递推关系的证明，即设n－1时结论成立，在这基础上再结合其他性质证明了n时也成立，便证明了结论对于全体正整数都成立。
综上几点，这个证明不成立。
还有，关于证明这个结论的意义，就是让我确定了任意m花n股，不管m，n取何值，结论确实成立。
而非列出有限个例子一一验证，然后符合，然而花股结有无穷多个，这有限个花股结的成立并不能说明结论对于所有花股结都成立。
比较典型的反例有费马所写的质数通项公式。
最后，“学术意义”的话，那肯定莫得，至于有“学术意义”的研究，纯数方向，考完博才姑且算是进了门槛，才具备最低程度科研素养，所以要是考虑“学术意义”的话 ，那咱们现在都是在瞎玩，所以学术意义就可以不考虑了。
ps，不是强推，是严谨地推，毕竟是数学。

劃兿

愿今夜永不结束 发表于 2023-4-26 01:13
emmm...这位数学家的名字的确是Bézout，e上方的斜杠只是给这个字母标注的音调，但这是法语的写法，因输入 ...

其实对于结友来说，证明过程不是我们去探讨的意义，而是如何去运用这样的数论知识去完成每个作品。就像我用了不合逻辑的方式是定义了x和y一样，可能会有更合适的，但其实只是为了能够更好去理解花和股这两个概念的，如果有更好的，当然同余是一个方向这里就不展开了。
在学术上，这样探讨是非常不错的，我也没想到能够在结艺网看到这样具有学术气息的，很厉害，给你赞一个
Ps:我手上的书籍里用的就是Bézout，书名是《国际数学奥林匹克研究》，2008年3月第一版

劃兿

愿今夜永不结束 发表于 2023-4-26 01:13
emmm...这位数学家的名字的确是Bézout，e上方的斜杠只是给这个字母标注的音调，但这是法语的写法，因输入 ...

关于证明过程，我这里用Bézout，其实只是在说明一点，就是能够用这个定理能够确定，起点出发经过有限次数的走线之后，能够走到起点的下一个顶点，这样就能确保一条路径走完。
我是这样去理解的。
至于真正的Bézout定理，只要满足那个等式，整数解是无穷多个的，多走几圈他也能回到那个位置

劃兿

愿今夜永不结束 发表于 2023-4-25 21:01
总的来说，这个问题本质上还是在一圈一圈的走线上寻找规律，也就是最小正周期，感觉跟Bezout定理关系不大 ...

年纪大了，我也只能想到这了，没这个精力再去做这样的推导了，还是你们精力好

愿今夜永不结束

劃藝 发表于 2023-4-26 07:29
关于证明过程，我这里用Bézout，其实只是在说明一点，就是能够用这个定理能够确定，起点出发经过有限次 ...

谢谢点赞，不过还有一个问题就是所谓“真正的Bezout定理”也就是第一个Bezout等式，形式为：Ax＋By＝k（A，B），k∈Z，即（A，B）能整除Ax＋By即可，此时是有无穷多组整数解的。但是证明中方程里k＝1，即Ax＋By＝（A，B），这样得到的结论仅为解的存在性，即至少一组整数解，并不一定是无限的。对于该形式的方程，若等式右边的数不整除A，B最大公因数是，这个方程是没有整数解的。

愿今夜永不结束

劃藝 发表于 2023-4-25 23:03
1.首先，原名是 Bézout 。
2.问题可简化多边形的顶点路径规划问题，假设多边形顶点数为A（花），从起点 ...

费马曾给出过关于素数的通项Fn＝2∧（2∧n）＋1并依次验证了n＝0，1，2，3，4时所算出的数均为素数而得出结论n带入任意非负整数所算出的Fn都是素数。
而欧拉则发现F5＝4294967297＝641×6700417，并非素数，这样，这个结论便不成立了。
我觉得证明的意义就是规避上面这种情况，无论如何，拿具体的数字来验证发现规律也只能验证有限次，并不能因为这有限次的符合而得到 '这个规律是正确的' 的结论，这时，证明的意义便体现出来了。

愿今夜永不结束

劃藝 发表于 2023-4-26 07:33
年纪大了，我也只能想到这了，没这个精力再去做这样的推导了，还是你们精力好

也不是年轻哈，主要刚好以前大学读数学系的，看到胡波老师将绳结问题转化为数学模型而严谨地创造出一套套的结理，感觉很有意思，然后去证明了胡波老师花股结理论中给大家的便于讨论交流的留白。