盘长耳翼理论研究

忆荏绾 · 发表于 2026-5-29 15:17

起因是看到结友“苁艸”的帖子对盘长耳翼的研究，很好的研究角度。虽说可以画图后再顺着线走就可以知道需要多少根线编成，但是我还是倾向于寻求一种数学表达。因为我觉得和我之前的帖子是有互通之处的，而这里应该是另一种比较泛用的情况：盘长可以看成每个耳翼不是在角上，而是在边上，同时N=M=0，而假如K=1，就可以表现出传统盘长的耳翼，不过这里特殊的一点是，从一个套两根不同线头开始，可以有不同的效果，所以它只保证每个耳翼都是闭合的，却没有规定其K值，也不规定其起始位置，也就是说它可以有更普遍更一般的连接方式。
下面展开讨论：
在开始之前，为方便，不妨假设处于人字面，且每个套在上面的那根线是在顺时针方向，对此一般我们可以理解为“顺时针下进上回，逆时针上进下回”，只不过在这里最开始时套和套之间并非处于连接状态，也就没有顺逆时针之分，所以便使用这种表述。
以二回盘长为例，那就是全部的8个套，每个套有2根线头，一共16根线头，而它们需要两两连接。那下面说明闭环的含义：假设任意若干个套构成一个集合，其全部连接只在这个集合中，且集合内每个套都必须与集合内除它之外的某个套具有连接关系，那这称这若干个套组成一个闭环。特别的，一个套自己两线头连接，就是一个闭环。再如，两个套时，有两种情况，一是顺线连顺线，逆线连逆线；或者顺线连逆线，逆线连顺线。可以看出，这是不同的连接方式，也就具有不同的效果。因而为区分每个不同的线头，不妨为其加上编号。需要注意的是，从不对称的起始位置开始也有不同的效果，而在本文中，是以二回盘长某个角的顺时针方向的第一个套的逆线为1号，然后顺时针往下依次编号直到16号；类似的，分别给这8个套编号。
中国结论坛盘长耳翼理论研究结艺交流 151001y9491lq4nl4f4t1o

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容易理解，盘长中有几个闭环就需要几线编成。下面说明连接的表示：某两根线连接，那么便将序号小的放在前面，例如（2，5）、（6，13）等等。
可是，该怎么用数学语言去表示一个闭环呢？我从三个套情况开始考虑：A连接B，B连接C，C连接A，组成一个闭环，其实拿出来开，就颇有点A=B，B=C，C=A的意味了。而看成热力学第零定律“若两系统分别与第三系统处于热平衡，则这两系统彼此也必定热平衡”应该是比较形象的比喻，也就是A=B，C=B，则A=C。其本质上是一种递推的平均关系，以此可推及这三个系统组成的大系统处于一个处处平衡均匀的状态。假设一个大系统处处热平衡，那就是一个闭环，而里面有若干个系统，也就是若干个套，即可表示为全部的套都处于同一种热平衡。考虑其连接关系，我们可以导出一个递推关系，通俗的讲，大系统每个系统的温度都等于与它连接的全部系统的温度的平均，那就可以构成一个处处热平衡的大系统。相应的，怎么表达这种平均关系呢？我们考虑每个套i分别有一个状态值X，以及连接数，也就是有如下公式：
X=（∑AX）/2 …①
其中，∑表示连加符号，A就表示从套i的角度看，套i和套j连接的次数，注意，A和A虽数值相等，但是A是从套j的角度看的，所以只不能用来算X。X就是套j的状态值。例如有三个套的闭环，套1分别和套2套3连接，也就是X=（A×X+A×X）/2，
即X=（1×X+1×X）/2
那两个套闭环是怎样呢？有如下式子：
那从套i角度看，它的两根线头分别连了套j一次，所以
A=1+1，X=（2×X）/2=X
同理，一个套的情况：
i=j，X=(A×X)/2=X
于是，会将每个套的状态值都调成一致，也就是组成一个闭环。
假设有一个包含3个套的闭环，A=B，C=B，A=C，那我们来看它有几个独立条件，不难看出，其实只有2个独立条件，因为A=C可由前2个条件推出。事实上，在矩阵中，我们就称其为秩（rank），即三个套的闭环它的秩是2；一般的，N个套的闭环其秩就是N-1。特别的，如果一个套自己组成闭环，则秩为0。所以求闭环的数量就转化为求矩阵的秩。考虑整体有P个套，一共组成K个闭环，，显而易见的是，每个闭环都是相互独立的，于是这K个闭环的秩加起来就是这个整体的秩。那么可以推出：这个整体的秩为Q，其闭环数为K，于是有如下关系：
K=P-Q
因而只需求出整体的秩便能得到闭环数。
将式①改写为矩阵形式，也就是
（2E-A）X=0 …②
其中E为单位矩阵
即LX=0
那么矩阵L就可以看成是这个整体的矩阵形式，求秩后容易得到闭环数。另外这个整体中天然被分成几个闭环，而每个闭环是独立的，所以都有一个基础解系，也就是每个闭环状态值X取值各自独立且内部一致。那我们求解LX=0，就能知道分别是哪几个套组成闭环。
下面举个例子：
中国结论坛盘长耳翼理论研究结艺交流 151134nrbuxyzogolss62i

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其实这种方法可能比用手顺着图片走还要麻烦一点，不过它却可以代入计算机就能直接得出结果，而且它对任何情况都是通用的，这大概就是数学的魅力所在吧可以预见的是，它对于任何回数，任意形状的盘长都是适用的。
可能有表达得不够清楚的地方还请见谅，希望各位结友都能有所收获。

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