（纯理论向）胡波老师的华瑶结理论探究

愿今夜永不结束

个人科系原因，看到乍一得到的结论，总是想去思考证明方法，偶然翻到了华瑶结理论的帖子，如图，看到最后，总结为三个结论：
1.n耳结分类数为[n/2]+1；
2.各线过度结编法小结数符合杨辉三角形规律；
3.n耳结的总编法数为2的n-1次方.

不论实操，本帖仅就华瑶结理论总结的上述三个结论做出证明

一生二

   好历害   胡波老师是数学工程师，不知是不是只有他能看懂。

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一、首先，为什么n耳结型最多至[n/2]＋1种（注：[ ]为取整符号，即不超过[n/2]的最大整数），不能再多一型了吗？自然可以想到利用反证法，假设存在n耳m型结体，其中m＞[n/2]+1，以此并结合一些华瑶结的几何性质（如完全对称）来推出矛盾，便可证明假设的新结型不存在，那么n耳结确有[n/2]＋1种，具体证明如下：

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二、由于接下来两条结论涉及到杨辉三角相关内容，所以需要知道一些基础定义及计算，在这里稍做补充：

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三、其实再补充完这些内容，结论2和3就非常容易理解了。结论2中所说的“杨辉三角规律”，本质上其实就是一个常用的组合恒等式（递推式）“C（n，m－1）+C（n，m）＝C（n＋1，m）”，这个等式是易证的，仅需基础的代数恒等变形能力便可推出，具体证明如下：

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四、而结论3的方法总数，本质就是一系列组合数求和，这里将C（n－1，0）至C（n－1，n－1）加在一起，就是（a+b）的n-1次方二项展开后所有项的系数求和，因为仅需系数，自然想到可以令a，b都等于1构造其二项展开，1为底数的任意次幂都是1，这样展开后即为系数求和，其实本质上也是一个组合恒等式。

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一生二 发表于 2023-9-14 23:02
好历害   胡波老师是数学工程师，不知是不是只有他能看懂。

谢谢 这个证明也就是一些组合基础 我记得好像高中就开始涉及计数原理了 所以应该很多人都看得懂的... 大概_(:з」∠)_